雙曲線- =1(a＞0,b＞0)的離心率為，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線l交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準線于M、N兩點.

(1)若=5，求直線l的斜率；

(2)證明M、N兩點的縱坐標之積為-a2.

(1)解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),因為雙曲線的離心率為，?

所以c=a,b=a，雙曲線方程為2x2-y2=2a2.                                                     ?

因為=5，所以x2=c.                                                                               ?

因為直線l:y=k(x-c),?

所以y2=-.                                                                                                   ?

點Q是雙曲線上一點，所以2()2-(-)2=2a2,                                                    ?

整理,得e2-e2k2=2,解得k=±.                                                           ?

(2)證明：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，?

由已知AP:y=(x+a),AQ:y=(x+a),?

所以ym=(+a),yn==(+a).                                                   ?

所以ymyn=·(+a)2=(+a)2.?

由得(2-k2)x2+2k2cx-k2c2-2a2=0,?

所以x1+x2=,x1x2=,?

y1y2=k2(x1-c)(x2-c)=k2［x1x2-c(x1+x2)+c2］=k2，                                       ?

x1x2+a(x1+x2)+a2=k2.                                                                                  ?

所以ymyn=·=-a2.      

練習冊系列答案
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A．(，)      B．(，)      C．(，)     D．(，π)

 

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