Question

（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求B₁D與平面A₁C₁B所成的角度數(shù)．
（2）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA₁，AB，BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，求異面直線EF與GH所成的角．
（3）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABC₁D₁與正方體的其它各個面所成二面角的大小分別是多少？

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）先建立空間直角坐標(biāo)系，欲證EF∥面A₁C₁B，只需證明EF平行于平面A₁C₁B內(nèi)的一條直線，利用空間向量證明

EF

與

A1C1

是平行向量，即可證明EF∥A₁C₁，而A₁C₁是平面A₁C₁B內(nèi)的一條直線，所以EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）欲求B₁D與平面A₁C₁B所成的角，只需證明DB₁⊥平面BA₁C₁，則B₁D與平面A₁C₁B所成的角為90°，利用空間向量證明
DB₁⊥平面BA₁C₁，先求出

DB1

，以及平面A₁C₁B中兩個向量

A1C1

，

BA1

，用計算

DB1

•  

A1C1

，

DB1

•

BA1

，都等于0，即可證明DB₁⊥平面BA₁C₁，求出B₁D與平面A₁C₁B所成的角的度數(shù)．
（2）欲求異面直線EF與GH所成的角，只需求出向量

EF

，

GH

的夾角，再結(jié)合異面直線所成角的范圍判斷異面直線EF與GH所成的角應(yīng)為向量

EF

，

GH

夾角的補(bǔ)角．
（3）先求出平面ABC₁D₁的法向量，再求出正方體各面的法向量，平面ABC₁D₁的法向量與正方體各面的法向量所成角即為平面ABC₁D₁與正方體的各個面所成二面角的大小．

解答：解：設(shè)正方體棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，

1

2

，0），F(xiàn)（

1

2

，1，0），∴

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），
∵

A1C1

=（-1，1，0），∴

EF

=

1

2

A1C1

，∴EF∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁B，∴EF∥面A₁C₁B
（Ⅱ）∵

DB1

=（1，1，1），

A1C1

=（-1，1，0），

BA1

=（0，-1，1）
∴

DB1

•

A1C1

=-1×1+1×1+1×0=0，

DB1

•

BA1

=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB₁⊥A₁C₁，DB₁⊥A₁B，A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴DB₁⊥平面BA₁C₁，
∴B₁D與平面A₁C₁B所成的角度數(shù)為90°
（2）∵E（1，0，

1

2

），F(xiàn)（（1，

1

2

，0），G（1，1，

1

2

），H（

1

2

，1，1）
∴

EF

=（0，

1

2

，-

1

2

），

GH

=（-

1

2

，0，

1

2

）
∵cos＜

EF

，

GH

＞=

EF • GH

| EF| •| GH |

=

- 1 4

2 2 × 2 2

=-

1

2

∴＜

EF

，

GH

＞=120°，異面直線所成的角范圍為（0，

π

，2

）
∴異面直線EF與GH所成的角為60°
（3）∵DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，
∴DA₁⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量為

DA1

=（1，0，1）
由正方體的性質(zhì)可知：平面ABCD的法向量為

DD1

=（0，0，1）；
平面AD₁的法向量為

DC

=（0，1，0）；平面CD₁的法向量為

DA

=（1，0，0）；
cos＜

DA1

，

DD1

＞=

2

2

，cos＜

DA1

，

DC

＞=0，cos＜

DA1

，

DA

＞=

2

2

，
∴平面ABC₁D₁與正方體的其它各個面所成二面角的大小分別是45°，90°，45°

點(diǎn)評：本題主要考查了在正方體中，線面平行的證明，異面直線所成角，線面角，二面角的計算，考查了學(xué)生的空間想象能力，轉(zhuǎn)換能力，識圖能力以及計算能力．