Question

20．對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，計(jì)算f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2015}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．

Answer 1

分析 由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對(duì)稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對(duì)稱，
∴f（x）+f（1-x）=2，
故設(shè)f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2015}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則f（ $\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+…+f（$\frac{1}{2017}$）=m，
兩式相加得2×2016=2m，
則m=2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．