Question

球O與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球O上一動(dòng)點(diǎn)，AP與平面ABCD所成的角為α，則α最大時(shí)，其正切值為

 

．

Answer 1

分析：可根據(jù)幾何性質(zhì)來解決這個(gè)問題，球內(nèi)切于一個(gè)正方體，其直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，AP與平面ABCD所成的角為α，則α最大時(shí)，AP應(yīng)在面AC₁上，故作出對(duì)棱面，在平面中研究．

解答：解：由題意，球直徑與正方體邊長(zhǎng)相等，不妨令半徑為r，則正方體邊長(zhǎng)為2r，由題意P點(diǎn)在對(duì)棱面AA₁C₁C上時(shí)，AP與平面ABCD所成的角為α，如圖，截取對(duì)棱面AA₁C₁C，
由圖知tan

α

2

=

r

2 r

=

2

2

故tanα=

2tan α 2

1-tan  2 α 2

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

故應(yīng)填 2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體內(nèi)切球的幾何性質(zhì)，以及切線長(zhǎng)、半徑、點(diǎn)心距組成的直角三角形．屬于位置關(guān)系直接轉(zhuǎn)化的題型．