Question

4．已知平面上三個向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°．
（1）求（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow c$的值；
（2）若|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c}$|＞1（k∈R），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件及向量數(shù)量積的計算公式便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$，進行數(shù)量積的運算便可求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$的值；
（2）可由$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|＞1$得出$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}＞1$，這樣由（1）及向量數(shù)量積的運算便可得出關于k的不等式，解不等式便可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|$=1，$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=＜\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞=120°$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=0；
（2）∵$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|＞1$；
∴$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}＞1$；
∴${k^2}{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}+{\overrightarrow c^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+2k\overrightarrow a•\overrightarrow c+2\overrightarrow b•\overrightarrow c＞1$；
∴k²+1+1-k-k-1＞1；
即k²-2k＞0；
∴k＜0或k＞2；
∴k的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 考查向量的模和夾角的概念，向量數(shù)量積的運算及其計算公式，以及不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的解法．