Question

【題目】已知.

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求證：為偶函數(shù)；

(3)指出方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)兩個(gè)，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于，列出不等式組求出的取值范圍即可；

（2）根據(jù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)．

（3）將方程變形為，即，設(shè)（），再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷.

解：（1）

，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；

（2）證明：∵對(duì)定義域中的任意，

都有

∴函數(shù)為偶函數(shù)；

（3）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

理由如下：

易知方程的根在內(nèi)，

方程可同解變形為，即

設(shè)（）.

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，

則在內(nèi)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，方程有唯一實(shí)根，

又因?yàn)榕己瘮?shù)，在內(nèi)，函數(shù)也有唯一零點(diǎn)，方程有唯一實(shí)根，

所以原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.