Question

已知矩陣M=（

1 0 0 -1

），N=（

1 2 3 4

）．
（Ⅰ）求使得MX=N成立的二階矩陣X；
（Ⅱ）求矩陣X的特征值以及每個特征值所對應(yīng)的一個特征向量．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）求出M^-1=

1 0 0 -1

，利用X=M^-1N，可求二階矩陣X；
（Ⅱ）根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）M=（

1 0 0 -1

），|M|=-1，
∴M^-1=

1 0 0 -1

，
∴X=M^-1N=

1 2 -3 -4

；
（Ⅱ）矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ+1）（λ+2），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ₁=-1，λ₂=-2，
設(shè)λ₁=-1對應(yīng)的一個特征向量為α=

x y

，
則由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，則y=-1，
∴矩陣M的一個特征值λ₁=1對應(yīng)的一個特征向量為

1 -1

，
同理可得矩陣M的一個特征值λ₂=-2對應(yīng)的一個特征向量為

2 -3

．

點評：本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．