Question

 已知曲線C：ｘ²＋ｙ²-(m+2)x+（m-2）y+㎡-2m=0，（1）當m為何值時，曲線C表示圓；（2）當該圓半徑取得最大值時，過（0，-2）的直線L與圓C交于A，B兩點，且滿足OA⊥OB，求直線L的方程。

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）∵D²+E²-4F=（m+2）²+（m-2）²-4（m²-2m）

                     =-2 m²+8m+8＞0

            ∴2 m²-8m-8＜0

            ∴  m²-4m-4＜0

            ∴ 2-2 ＜m＜ 2+2 

       （2）r==

          當m=2時，r_max=2，此時圓方程為x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4

          設(shè)所求直線方程為y+2=kx，即kx-y-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

         ∵OA⊥OB，∴  ·  =-1           ∴x₁x₂+ y₁y₂=0

          又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2

          ∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+ x₂）+4

          由   kx-y-2=0    得（k²+1）x²-（4k+4）x+4=0

 

               x²+y²-4x=0

          ∴x₁+ x₂=，x₁x₂=

           ∴x₁x₂+ y₁y₂=+k²·-2k·+4=0

 ∴k=1

又∵△=（4k+4）²-4（k²+1）×4=16 k²+32k+16-16 k²-16=32k＞0

  ∴k＞0∴所求直線方程為x-y-2=0