已知數(shù)列{an}滿足a2=-
1
7
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
（n≥2，n∈N）．
（1）求a1的值；
（2）求證：數(shù)列{
1
an
+（-1）n}是等比數(shù)列；
（3）設cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn．求證：對任意的n∈N*，Tn＜
2
3
．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）利用遞推式和已知即可得出；
（2）兩邊取倒數(shù)，再變形和利用等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到結(jié)論．
（3）利用放縮法和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出結(jié)論．
解答： （1）解：由a2=
a1
a1-2
=-
1
7
，解得a1=
1
4
 …（2分）
（2）證明：∵an=
an-1
(-1)nan-1-2
，
∴
1
an
+（-1）n=-2[
1
an-1
+（-1）n-1]，
∵
1
a1
-1=3≠0，…（6分）
∴數(shù)列{
1
an
+（-1）n}是以3為首項，公比為-2的等比數(shù)列．…（7分）
（3）解：由（2）得
1
an
+（-1）n=3•（-2）n-1．…（8分）
∴
1
an
=3•（-2）n-1-（-1）n，
∴an=
1
3•(-2)n-1-(-1)n
，…（10分）
∴cn=ansin
(2n-1)π
2
=
1
3•(-2)n-1-(-1)n
•（-1）n-1=
1
3•2n-1+1
＜
1
3•2n-1
．…（12分）
∴Tn＜
1
3
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
=
2
3
[1-(
1
2
)n]＜
2
3
．…（14分）
點評：熟練掌握遞推式的意義、取倒數(shù)法、再變形和利用等比數(shù)列的定義和通項公式、放縮法和等比數(shù)列的前n項和公式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項公式為an=
1
n+1
+
n
（n=1，2，…，），Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則Sn=（　　）
A、
n+1
-1
B、
n
-1
C、
n
+1
D、
n+1
+1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
x-a
2x2+b
為R上的奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點（1，
1
3
）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}：a1=
1
2
，an+12=2an•f（an），設bn=
1
an2
-2，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（3）設數(shù)列{
n
an2
}的前n項和Sn，若Sn+
1
2n-2
-m＞0對一切n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：若對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|成立，則稱f（x）為“M函數(shù)”．
（Ⅰ）已知函數(shù)g（x）=
1
x+2
，x∈[0，1]．判斷g（x）是否為“M函數(shù)”，并說明理由；
（Ⅱ）若h（x）為“M函數(shù)”，且h（0）=h（1），求證：對任意x1，x2∈[0，1]，有|h（x1）-h（x2）|＜
1
2
．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設各項為正的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：2Sn=an•（an+1）；數(shù)列{bn}滿足：bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N*），且b1=1．
（1）求an和bn；
（2）設Tn為數(shù)列{
1
bn+2n
}的前n項和，若Tn≤λan+1對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=
3
2
n（n+1），n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn滿足an=3log2bn，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn；
（3）設cn=
9
anan+1
，Rn是數(shù)列{cn}的前n項和，求證：
1
2
≤Rn＜1（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=2，S3=7．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=log2an+1（n∈N*），數(shù)列{
1
bnbn+1
}的前n項和Tn，求證Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是首項a1＞1，公比q＞0的等比數(shù)列．設bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設{bn}的前n項和為Sn，求當
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大時n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
在同一平面內(nèi)，且
a
=（-1，2）．
（1）若
c
=（m-1，3m），且
c
∥
a
，求m的值；
（2）若|
a
-
b
|=3，且（
a
+2
b
）⊥（2
a
-
b
），求
a
-
b
與
b
的夾角．

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