Processing math: 77%
10.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-b|-alnx,其中a、b均為非負(fù)實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)b>0時(shí),若函數(shù)f(x)在x=b處取得極小值,證明:0≤a≤b.
(2)若對(duì)?a∈[1e,e],不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)若?a∈(0,+∞),使得方程f(a)=b2-l有解,試求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 (1)當(dāng)b>0時(shí),去掉絕對(duì)值,求得函數(shù)f(x)的解析式和導(dǎo)函數(shù)f′(x),由函數(shù)f(x)在x=b處取得極小值,即可得到x≥b時(shí),應(yīng)有f′(x)≥0,即可證明0≤a≤b;
(2)由題意可知:分別討論當(dāng)b=0和b>0時(shí),求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性根據(jù),求得函數(shù)的最小值,即可判斷f(x)≥0恒成立,是否成立;
(3)分別討論,當(dāng)b=0,構(gòu)造輔助函數(shù)F(a)=a-alna+1,由F(1)•F(e2)<0,根據(jù)零點(diǎn)定理可知存在a∈(1,e2),使得F(a)=0,當(dāng)a≥b>0和0<a<b時(shí),構(gòu)造輔助函數(shù),g(a)=a-alna,h(b)=b2+b-1,根據(jù)a和b的取值范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得使得方程f(a)=b2-l有解及實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解答 證明:(1)當(dāng)b>0時(shí),f(x)={xbalnxxbx+balnx0xb
∴f′(x)={xaxxbxax0xb,
∵a≥0,當(dāng)0<x<b時(shí),f′(x)=xax<0,
又因?yàn)閒(x)在x=b處取得極小值,
所以當(dāng)x≥b時(shí),應(yīng)有f′(x)≥0,
即x-a≥0⇒b-a≥0,
所以0≤a≤b,
解:(2)(Ⅰ)當(dāng)b=0時(shí),f(x)=x-alnx,f′(x)=xax
因?yàn)閍∈[1e,e],
令f′(x)=0,可得:x=a,

 x (0,a) a (a,+∞)
 f′(x)- 0+
 f(x) 極小值
由表可知:f(x)min=f(a)=a-alna,
a∈[1e,e],f(x)min=f(a)=a-alna=a(1-lna)≥0,
即不等式f(x)恒成立,
∴b=0符合題意;
(Ⅱ)當(dāng)b>0時(shí),因?yàn)椴坏萬(wàn)(x)≥0恒成立,
所以f(b)=-alnb≥0,即b∈(0,1],
①x∈(0,b)時(shí),因?yàn)樨瓁-b丨>0且alnx<0,所以f(x)>0,
②當(dāng)x≥b,f(x)=x-b-alnx,f′(x)=xax,
由(Ⅰ)可知f(x)min=f(a)=a-b-alna,
不等式f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0,
即b≤a-alna,
又因?yàn)楫?dāng)a∈[1e,e],時(shí),由(Ⅰ)可知(a-alna)min=0,
即此時(shí)沒(méi)有符合條件的b;
綜上,若對(duì)?a∈[1e,e],不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)b=0;
(3)當(dāng)b=0,f(a)=a-alna,b2-1=-1,設(shè)F(a)=a-alna+1,
因?yàn)镕(1)=2>0,F(xiàn)(e2)=-e2+1<0,
由F(1)•F(e2)<0,
由零點(diǎn)定理可知:即存在a∈(1,e2),使得F(a)=0,
所以當(dāng)b=0時(shí)成立;
當(dāng)a≥b>0時(shí),f(a)=a-b-alna,
令f(a)=b2-1,即a-alna=b2+b-1,
設(shè)g(a)=a-alna,h(b)=b2+b-1,
①當(dāng)a≤1時(shí),alna<0,
∴a-alna≥a≥b≥b2+b-1,
即g(a)≥h(a),
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立,即此時(shí)b=1,
當(dāng)a>1時(shí),g′(a)=-lna<0,即g(a)單調(diào)遞減,
g(a)<g(1)=1,即h(b)<1,b2+b-1<1,
得b<1,此時(shí)滿足b<a,
又因?yàn)間(e2)=-e2<(b2+b-1)min=-1,
所以對(duì)?b∈(0,1),?a∈(1,e2),滿足g(a)=h(b),
即f(a)=b2-l有解,
綜上可知b∈(0,1],符合題意;
當(dāng)0<a<b時(shí),f(a)=-a+b-alna,
令f(a)=b2-l,即-a-alna=b2+b-1,
設(shè)g(a)=-a-alna,h(b)=b2-b-1,
①當(dāng)a<b≤1時(shí),b2+b-1≤-1,g′(a)=-2-lna,
令g′(a)=0,可得:a=1e2,易得g(a)在區(qū)間(0,1e2)上單調(diào)遞增,在(1e2,1)上單調(diào)遞減,
g(a)max=g(1e2)=1e2,
又因?yàn)閍∈(0,1e2),g(a)>0,
所以g(a)>g(b)=-1,
即g(a)>g(b);
②b>1時(shí),h(b)單調(diào)遞增,h(b)>-1,
即g(a)>-1,a∈(0,1),
又因?yàn)閍∈(0,1)時(shí),g(a)∈(-1,1e2],
所以-1<h(b)<1e2,解得b∈(1,e+5e2+42e
所以對(duì)?b∈(1,e+5e2+42e),?a∈(0,1),滿足g(a)=h(b),
即f(a)=b2-l有解,
綜上可知b∈(1,e+5e2+42e]符合題意,
綜上可知:?a∈(0,+∞),使得方程f(a)=b2-l有解,則b∈(1,e+5e2+42e].

點(diǎn)評(píng) 本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,考查零點(diǎn)定理,考查分類討論思想,考查一元二次方程的解集,考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題得能力,分類種類多,計(jì)算量大,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)f(x)=cos2x+3sinxcosx+12
(1)求f(x)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知集合P={a|2kπ≤a≤2kπ+π,k∈Z},Q={a|-4≤a≤4},則P∩Q=[-4,-π]∪[0,π].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式mx2+mx+4>0恒成立,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+\frac{π}{3}),x∈[-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]且函數(shù)g(x)=2[f(x)]2-f(x)-m.
(1)當(dāng)m=0時(shí),求函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn);
(2)當(dāng)m∈[-\frac{1}{8},3],討論函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)零點(diǎn)的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.一個(gè)棱長(zhǎng)為5的正四面體(棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體,若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),則小正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為\frac{5}{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.設(shè)直線l:(m-1)x+(2m+1)y+3m=0(m∈R)與圓(x-1)2+y2=r2(r>0)交于A,B兩點(diǎn),C為圓心,當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí),△ABC面積的最大值為4,則mr2=-4或-14.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.設(shè)f(x)=|x-1|+|x+1|,(x∈R)
(1)求證:f(x)≥2;
(2)若不等式f(x)≥\frac{|2b+1|-|1-b|}{|b|}對(duì)任意非零實(shí)數(shù)b恒成立,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.已知關(guān)于x的不等式|mx-2|+|mx+m|≥5.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案