分析 (1)當b>0時,去掉絕對值,求得函數(shù)f(x)的解析式和導(dǎo)函數(shù)f′(x),由函數(shù)f(x)在x=b處取得極小值,即可得到x≥b時,應(yīng)有f′(x)≥0,即可證明0≤a≤b;
(2)由題意可知:分別討論當b=0和b>0時,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性根據(jù),求得函數(shù)的最小值,即可判斷f(x)≥0恒成立,是否成立;
(3)分別討論,當b=0,構(gòu)造輔助函數(shù)F(a)=a-alna+1,由F(1)•F(e2)<0,根據(jù)零點定理可知存在a∈(1,e2),使得F(a)=0,當a≥b>0和0<a<b時,構(gòu)造輔助函數(shù),g(a)=a-alna,h(b)=b2+b-1,根據(jù)a和b的取值范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得使得方程f(a)=b2-l有解及實數(shù)b的取值范圍.
解答 證明:(1)當b>0時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x-b-alnx}&{x≥b}\\{-x+b-alnx}&{0<x<b}\end{array}\right.$,
∴f′(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-a}{x}}&{x≥b}\\{\frac{-x-a}{x}}&{0<x<b}\end{array}\right.$,
∵a≥0,當0<x<b時,f′(x)=$\frac{-x-a}{x}$<0,
又因為f(x)在x=b處取得極小值,
所以當x≥b時,應(yīng)有f′(x)≥0,
即x-a≥0⇒b-a≥0,
所以0≤a≤b,
解:(2)(Ⅰ)當b=0時,f(x)=x-alnx,f′(x)=$\frac{x-a}{x}$,
因為a∈[$\frac{1}{e}$,e],
令f′(x)=0,可得:x=a,
x | (0,a) | a | (a,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↓ | 極小值 | ↑ |
點評 本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,考查零點定理,考查分類討論思想,考查一元二次方程的解集,考查分析問題及解決問題得能力,分類種類多,計算量大,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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