Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x ²+alnx（a∈R），若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為x-y+b=0，則實數(shù)a=

 

b=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b可知，f′（2）=1，f（2）=

4

3

+aln2=2+b，可解ab的值；

解答： 解：已知函數(shù)f（x）=

1

3

x²+alnx，則導(dǎo)數(shù)f′（x）=

2

3

x+

a

x

，
函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b可知：f′（2）=1，
即

4

3

+

a

2

=1，解得a=-

2

3

，
又f（2）=

4

3

+aln2=2+b，解得b=-

2

3

（ln2+1）．
故答案為：-

2

3

；-

2

3

（ln2+1）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：在某點處的切線斜率即是該點的導(dǎo)數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．