Question

過點（1，3）且與曲線y=x³+2x相切的直線方程為

 

．

Answer 1

分析：設切點為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，由于直線l經過原點，故等式的兩邊同除以x₀即得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點x₀處的切線斜率，便可建立關于x₀的方程．在兩邊同除以x₀時，要注意對x₀是否為0進行討論．

解答：解：設直線l：y-3=k（x-1）．∵y′=3x²+2，∴y′|_x=1=5，
又∵直線與曲線均過點（1，3），于是直線y-3=k（x-1）與曲線y=x³+2x相切于切點（1，3）時，k=5．
若直線與曲線切于點（x₀，y₀）（x₀≠0），則k=

y0-3

x0-1

，∵y₀=x₀³+2x₀，
∴

y0-3

x0-1

=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²+2，∴2x₀²+3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-

3

2

，∴k=x₀²-3x₀+2=

11

4

，
故直線l的方程為11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
故答案為：11x-4y+1=0或5x-y-2=0．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．