正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD的內部的一個點．

(1)設“VPABC≥V”的事件為X，求概率P(X)；

(2)設“VPABC≥V”且“VPBCD≥V”的事件為Y，求概率P(Y)．

 

（1）（2）

【解析】首先確定點P的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中的點所在區(qū)域d；分別計算區(qū)域D和d的體積；最后計算所求概率為.

（1)如圖，分別取DA、DB、DC上的點E、F、G，

并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，并連結EF、FG、GE，

則平面EFG∥平面ABC.

當P在正四面體DEFG內部運動

時，滿足VPABC≥V，故P(X)＝.

(2)在AB上取點H，使AH＝3HB，在AC上取點I，

使AI＝3IC，在AD上取點J，使AJ＝3JD，

則P在正四面體AHIJ內部運動時，滿足VPBCD≥V.

設JH交EF于M，JI交EG于N，則面MIN∥面BCD.

結合(1)，當P在正四面體DFEG的內部及正四面體AHIJ的內部運動，也即P在正四面體EMNJ內部運動時，同時滿足VPABC≥V且VPBCD≥V，于是P(Y)＝.

 

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