【答案】
分析:(Ⅰ)求a
1,a
2的值只需要把n=1,2時(shí)代入即可順利解答;
(Ⅱ)求通項(xiàng)公式需要利用重要性質(zhì):當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1,本題這一問利用這個(gè)結(jié)論可以得到含S
n,S
n-1的關(guān)系式,求出前幾項(xiàng)S
1,S
2,S
3,猜想出S
n,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(Ⅲ)利用(II)的結(jié)論以及條件1-S
n=a
nb
n很容易得到 b
n的關(guān)系式,然后利用放縮法解答證明這一問,需要適當(dāng)?shù)淖冃危?br />
解答:解:(Ⅰ)
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,
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…(3分)
(Ⅱ) S
n2-(a
n+2)S
n+1=0…①
當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1代入①式得S
nS
n-1-2S
n+1=0…②…(5分)
由 (Ⅰ) 知
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猜想
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…(6分)
下用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1°)n=1已證明;
(2°)假設(shè)
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則n=k+1時(shí)S
k+1S
k-2S
k+1=0
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成立
綜合1°,2°猜想成立.
∴當(dāng)n≥2時(shí),
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,當(dāng)n=1時(shí)也滿足,故
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(Ⅲ)由(Ⅱ) b
n=n,
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,則
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…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推公式的概念以及求數(shù)列通項(xiàng)的知識(shí),第(I)問屬于低檔題目,第(II)問中要先求出S
n的關(guān)系式,再來求{a
n}的通項(xiàng)公式,再遞推式S
nS
n-1-2S
n+1=0比較煩瑣又很難歸求出S
n的關(guān)系式時(shí),可以先求出前幾項(xiàng),猜想出S
n的公式,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明之,這是一個(gè)不錯(cuò)的解題思路.本題還綜合考查了不等式的放縮法,分離法求數(shù)列前n項(xiàng)和這個(gè)重要考點(diǎn)!