Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+3，x∈[-2，1]．求：
（1）f（x）的單調(diào)區(qū)間        
（2）f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別利用導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0，結(jié)合已知函數(shù)定義域求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)在[-2，1]兩端點的值，再求出函數(shù)在該區(qū)間上的最大值得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x³-2x²+x+3，得f′（x）=3x²-4x+1，
由3x²-4x+1＞0，得x$＜\frac{1}{3}$或x＞1；由3x²-4x+1＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-2，$\frac{1}{3}$）；單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{3}，1$]；
（2）由（1）知，f（x）在[-2，$\frac{1}{3}$）上為增函數(shù)，在（$\frac{1}{3}$，1]上為減函數(shù)，
又f（-2）=-15，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{85}{27}$，f（1）=3．
∴f（x）的值域為[-15，$\frac{85}{27}$]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．