已知函數(shù)，，且）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的方程有唯一解，求a的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 【解】 （1）由已知得x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);       ……………3分

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則.　    ……………………5分

所以當(dāng)x時(shí)，，當(dāng)x時(shí)，.

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．………………7分

（2）若，則.

記g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     …………………………9分

令,得.因?yàn)?sub>，

所以（舍去），.  ……………………11分

當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當(dāng)x=x2時(shí), ，.        …………………………12分

因?yàn)?sub>有唯一解，所以.

則 即    …………………………13分

兩式相減得因?yàn)?i>a>0，所以.……14分

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)樵?i>x>0時(shí)，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．

因?yàn)?i>h (1) = 0，所以方程(*)的解為x 2 = 1，從而解得…………15分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)滿足，且

   （1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；

   （2）設(shè)，，求證：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 

（3）設(shè)，對(duì)每一個(gè)，在與之間插入個(gè)，得到新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試問是否存在正整數(shù)，使？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆福建省高三第五次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)，若且，則下列不等式中正確的是（    ）

A．        B．       C．       D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆度黑龍江哈三中高三上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為         

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省廊坊市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，且.

（1）試求所滿足的關(guān)系式；

（2）若，方程有唯一解，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年北京市朝陽區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知函數(shù)， ，且．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（Ⅲ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

 

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