分析 (1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),可得f(0)=0.取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),即可判斷出奇偶性.任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,可得x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,化簡即可得出單調(diào)性.
(2)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法即可得出.
解答 解:(1)取x=y=0,則f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0.
取y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立,∴f(x)為奇函數(shù).
任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1),又f(x)為奇函數(shù),
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)是R上的減函數(shù).
(2)f(x)為奇函數(shù),整理原式得f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2),
則f(ax2-2x)<f(x-2),
∵f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),∴ax2-2x>x-2,
當(dāng)a=0時,-2x>x-2在R上不是恒成立,與題意矛盾;
當(dāng)a>0時,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,則△=9-8a<0,即a>98;
當(dāng)a<0時,ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合題意.
綜上所述,a的取值范圍為(98,+∞).
點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法,考查了分類討論、推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ① | B. | ①③ | C. | ②③ | D. | ①②③ |
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A. | -2 | B. | 7 | C. | 2 | D. | -1 |
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