Question

20．已知sinα=$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，且α，β∈（0，π），則tanβ可能的取值是④⑤（填序號(hào)）．
①$\frac{25}{24}$；②-$\frac{25}{24}$；③$\frac{7}{24}$；④-$\frac{7}{24}$；⑤不存在．

Answer 1

分析 根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和正切的和與差的公式計(jì)算．考慮α，β的范圍，可得結(jié)論．

解答 解：sinα=$\frac{4}{5}$＞0，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$＞0，
當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，cosα=$\frac{3}{5}$，則tanα=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)α+β∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，
則tan（α+β）=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)α+β∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
則tan（α+β）=-$\frac{3}{4}$，
那么：tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}$=$-\frac{7}{24}$或不存在．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式和正切的和與差的公式計(jì)算．屬于中檔題．