Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換可將f（x）轉(zhuǎn)化為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，從而可求f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值可求2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，從而可得f（x）的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1．…（4分）
因此f（x）的最小正周期為π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，
∴f（x）的最大值為3，最小值為0．…（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練應(yīng)用輔助角公式是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．