Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD和BC的中點(diǎn)．
（1）求證PA∥平面EFG．
（2）求異面直線FG與CD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，根據(jù)E，F(xiàn)，G分別為PC，PD和BC的中點(diǎn)可以得到EF∥CD以及GH∥CD；進(jìn)而得到E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；再結(jié)合PA∥FH即可得到PA∥平面EFG；
（2）先根據(jù)HG∥DC，得到FG與CD所成角等于∠FGH或其補(bǔ)角；然后通過(guò)條件得到FH⊥HG；最后在直角三角形FHG中求出∠FGH即可．

解答： （1）證．如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴GH∥CD．
∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．…（2分）
∵F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)．∴PA∥FH．…（4分）
∵PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．…（6分）
（2）解．由（1）知HG∥DC，故FG與CD所成角等于∠FGH或其補(bǔ)角．…（7分）
又易得HG=DC=2，F(xiàn)H=

2

，…（8分）
又PD⊥平面ABCD且DA⊥AB，故PA⊥AB，…（9分）
再由FH∥PA知FH⊥HG，tan∠FGH=

FH

HG

=

2

2

．…（11分）
故異面直線FG與CD所成角的正切值是

2

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．