Question

（本小題滿分14分）

如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9．

   （1）求證：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)   

解析:

（1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴．在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）解法1：∵平面，平面，

∴． ∴為圓的直徑，即．

設正方形的邊長為，在△中，，

在△中，，由，解得，．

∴． 過點作于點，作交于點，連結，

由于平面，平面，

∴．∵，

∴平面．∵平面，

∴．∵，，

∴平面．∵平面，

∴．∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，∴．

在△中，， ∴．

故二面角的平面角的正切值為．

解法2：∵平面，平面，∴．

∴為圓的直徑，即． 設正方形的邊長為，

在△中，，在△中，，

由，解得，．∴．

以為坐標原點，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

．

設平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個法向量．

設平面的法向量為，則即

取，則是平面的一個法向量．

∵，

∴．∴．故二面角的平面角的正切值為．