如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是PC中點,G為AC上一點.

(1)求證:BD⊥FG;

(2)確定點G在線段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并說明理由.

(3)當二面角B-PC-D的大小為時,求PC與底面ABCD所成角的正切值.

答案:
解析:

  解:方法一:(Ⅰ)面ABCD,四邊形ABCD是正方形,

  其對角線BD,AC交于點E,∴PA⊥BD,AC⊥BD

  ∴BD⊥平面APC,平面PAC,

  ∴BD⊥FG  3分

  (Ⅱ)當G為EC中點,即時,F(xiàn)G∥平面PBD  4分

  理由如下:

  連接PE,由F為PC中點,G為EC中點,知FG∥PE,

  而FG平面PBD,PB平面PBD,

  故FG∥平面PBD  7分

  (Ⅲ)作BH⊥PC于H,連結DH,

  ∵PA⊥面ABCD,四邊形ABCD是正方形,

  ∴PB=PD,

  又∵BC=DC,PC=PC,

  

  方法二解:以A為原點,AB,AD,PA所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方形ABCD的邊長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),

  (Ⅰ)

  

    3分

  (Ⅱ)要使FG∥平面PBD,只需FG∥EP,

  而

  由可得,解得

    6分

  

  故當時,F(xiàn)G∥平面PBD  7分

  設平面PBC的一個法向量為

  則,而

  

  ∴PC與底面ABCD所成角的正切值是  12分


練習冊系列答案
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(Ⅰ)確定點G在線段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并說明理由;
(Ⅱ)當二面角B-PC-D的大小為
3
時,求PC與底面ABCD所成角的正切值.

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