Question

13．求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點在x軸上，焦距為4，并且經(jīng)過點$P（3，-2\sqrt{6}）$的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）漸近線方程是$y=±\frac{1}{2}x$，且過點（2，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=2，由a，b，c的關(guān)系和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）由漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），代入點（2，2），解方程可得m，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2c=4，即c=2，
a²-b²=4，
代入P的坐標(biāo)，可得$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{24}{^{2}}$=1，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）由漸近線方程是$y=±\frac{1}{2}x$，
可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），
將（2，2）代入上式，可得4-$\frac{1}{4}$×4=m，
即m=3，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．