Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，M是CC₁中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）過點(diǎn)C作一截面與平面AB₁M平行，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁B交AB于P，則P是A₁B的中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD、PD、MP，推導(dǎo)出四邊形MCDP是平行四邊形，從而CD∥MP，求出CD⊥AB，CC₁⊥CD，CD⊥AA₁，從而MP⊥平面A₁ABB₁，由此能證明平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
（2）取AB中點(diǎn)D，BB₁中點(diǎn)N，連結(jié)CD、CN、DN，則截面CDN是過點(diǎn)C與平面AB₁M平行的截面．利用面面垂直的判定定理能證明平面CDN∥平面AB₁M．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁B交AB于P，則P是A₁B的中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD、PD、MP，
∵M(jìn)、D分別是CC₁、AB的中點(diǎn)，
∴DP∥CM，且DP=CM，
∴四邊形MCDP是平行四邊形，
∴CD∥MP，∵AC=BC，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CD，
又AA₁∥CC₁，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，∴MP⊥平面A₁ABB₁，
又∵M(jìn)P?平面AB₁M，
∴平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）取AB中點(diǎn)D，BB₁中點(diǎn)N，
連結(jié)CD、CN、DN，則截面CDN是過點(diǎn)C與平面AB₁M平行的截面．
理由如下：
∵D、N分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，∴DN∥AB₁，
又在矩形BCC₁B₁中，M是CC₁的中點(diǎn)，
∴B₁N∥CM，B₁N=CM，
∴四邊形CMB₁N是平行四邊形，∴B₁M∥CN，
∵CN、DN?平面AB₁M，B₁M、AB₁?平面AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M，DN∥平面AB₁M，
∵CN∩DN=N，CN、DN?平面CDN，
∴平面CDN∥平面AB₁M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直、面面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．