Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為q（q＞0且q≠1）的等比數(shù)列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）當(dāng)q=5時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）當(dāng)q=時(shí)，若b_n＜b_n+1，求n最小值．

Answer 1

解：（1）由題得a_n=qⁿ，∴b_n=a_n•log₄a_n=qⁿ•log₄qⁿ=n•5ⁿ•log₄5
∴S_n=（1×5+2×5²+…+n×5ⁿ）log₄5
設(shè)T_n=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ①
5T_n=1×5²+2×5³+…（n-1）5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹②
②-①：-4T_n=5+5²+5²+…+5ⁿ-n×5ⁿ⁺¹=-n×5ⁿ⁺¹
T_n=，
S_n=；
（2）b_n=a_nlog₄a_n=，
b_n+1-b_n=[（n+1）
=，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/83447.png' />＜0，＞0，
所以，解得n＞14，
即取n≥15時(shí)，b_n＜b_n+1．
所求的最小自然數(shù)是15．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為q的等比數(shù)列得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=a_nlog₄a_n中得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，把q=5代入后列舉出數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)，提取log₄5后剩下的式子設(shè)為T_n①，乘以5得到②，②-①再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡可得T_n的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的通項(xiàng)公式；
（2）把q=代入到b_n=a_nlog₄a_n中得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)b_n+1-b_n＞0列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集，即可找出滿足題意的正整數(shù)n的值．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求值，會利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是一道中檔題．