Question

17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，則m+n的取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 由三點(diǎn)共線時(shí)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，這三點(diǎn)為終點(diǎn)的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數(shù)和為1得到$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，然后利用基本不等式求最值

解答 解：∵△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2m}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2n}$$\overrightarrow{AN}$，
又∵O，M，N三點(diǎn)共線，
∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，
∴m+n=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$）=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，
故m+n的取值范圍為[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共線向量基本定理的應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是“1”的用法，是中檔題．