Question

一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)n≥5）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）為數(shù)表中第i行的第j個數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項公式f（2，j）和f（3，j）；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行以外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列；
（3）求f（i，1）關(guān)于i（i=1，2，…，n）的表達(dá)式．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義即可求出相應(yīng)的通項公式，
（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，若成等差數(shù)列求出公差d即可．
（3）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求出f（i，1）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n-1），f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n-2）
（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，
假設(shè)第i（1≤i≤n-3）行是以d_i為公差的等差數(shù)列，則由f（i+1，j+1）-f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]=f（i，j+2）-f（i，j）=2d_i（常數(shù)）
知第i+1（1≤i≤n-3）行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，且其公差為2d_i．
綜上可得，數(shù)表中除最后2行以外每一行都成等差數(shù)列
（3）由于d₁=4，d_i=2d_i-1（i≥2），所以di=4•2i-1=2i+1，
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+d_i-1，
由di-1=2i得f（i，1）=2f（i-1，1）+2ⁱ，
于是

f(i，1)

2i

=

f(i-1，1)

2i-1

+1，即

f(i，1)

2i

-

f(i-1，1)

2i-1

=1，
又因為

f(1，1)

21

=

4

2

=2，所以，數(shù)列{

f(i，1)

2i

}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，

f(i，1)

2i

=2+(i-1)=i+1，所以f（i，1）=（i+1）•2ⁱ（i=1，2，…n）

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．