Question

9．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，P為線段AD₁上的動點，
（1）當P為AD₁中點時，求證：PD⊥平面ABC₁D₁
（2）求證：無論P在何處，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值；并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由正方形ADD₁A₁可得PD⊥AD₁，由AB⊥平面ADD₁A₁可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC₁D₁；
（2）三棱錐P-BDC₁的底面積為定值，由AD₁∥BC₁可知AD₁∥平面BDC₁，故P到平面BDC₁的距離為定值，當P與A重合時，求出三棱錐C₁-ABD的體積即可．

解答 證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，PD?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥PD．
∵AD=AA₁，∴四邊形AA₁D₁D為正方形，P為對角線AD₁ 的中點，
∴PD⊥AD₁，
又∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴PD⊥平面ABC₁D₁．
（2）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD₁∥BC₁，BC₁?平面BDC₁，AD₁?平面BDC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，
∵P為線段AD₁上的點，
∴點P到平面BDC₁的距離為定值．而三角形BDC₁的面積為定值，
∴三棱錐P-BDC₁的體積為定值，即三棱錐D-PBC₁的體積為定值．
V${\;}_{D-PB{C}_{1}}$=V${\;}_{P-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{A-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．