Question

已知函數f(x)＝ (a∈R)．

(1)求f(x)的極值；

(2)若函數f(x)的圖象與函數g(x)＝1的圖象在區(qū)間(0，e2]上有公共點，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f(x)在x＝e1－a處取得極大值，f(x)極大值＝f(e1－a)＝ea－1，無極小值

（2）[1，＋∞)

【解析】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝，

令f′(x)＝0得x＝e1－a，

當x∈(0，e1－a)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；

當x∈(e1－a，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)是減函數，

∴f(x)在x＝e1－a處取得極大值，f(x)極大值＝f(e1－a)＝ea－1，無極小值．

(2)①當e1－a<e2時，即a>－1時，

由(1)知f (x)在(0，e1－a)上是增函數，在(e1－a，e2]上是減函數，

∴f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1，

又當x＝e－a時，f(x)＝0，

當x∈(0，e－a]時，f(x)<0；當x∈(e－a，e2]時，f(x)>0；

∵f(x)的圖象與g(x)＝1的圖象在(0，e2]上有公共點，

∴ea－1≥1，解得a≥1，又a>－1，所以a≥1.

②當e1－a≥e2時，即a≤－1時，f(x)在(0，e2]上是增函數，

∴f(x)在(0，e2]上的最大值為f(e2)＝，

所以原問題等價于≥1，解得a≥e2－2.

又a≤－1，所以此時a無解．

綜上，實數a的取值范圍是[1，＋∞)．