Question

【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí)，具體見(jiàn)下表：

第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)	或	或
第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率	0.2	0.4	0.6
第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率	0.3	0.3	0.3
第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率	0.5	0.3	0.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤(rùn)分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤(rùn)；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是萬(wàn)元，使用壽命是年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購(gòu)買該設(shè)備？說(shuō)明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）萬(wàn)元；（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根據(jù)頻率分布直方圖確定各組的頻率及中間值，再根據(jù)樣本平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算得到平均數(shù)；（Ⅱ）首先確定隨機(jī)變量的所有可能取值，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式求的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）首先根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)確定好等，然后類似第二問(wèn)求出隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，最后根據(jù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的大小作決策.

（Ⅰ）平均值為： .

（Ⅱ）由頻率直方圖，第一段生產(chǎn)半成品質(zhì)量指標(biāo)或 ，

或 ，，

設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，則

，

，

，

所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤(rùn)是元，

所以一條流水線一年能為該公司帶來(lái)利潤(rùn)的估計(jì)值是萬(wàn)元.

（Ⅲ），

設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤(rùn)為元，則

，

，

，

所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤(rùn)為

元，

所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來(lái)利潤(rùn)的估計(jì)值是萬(wàn)元，

增加收入萬(wàn)元，

綜上，應(yīng)該引入該設(shè)備.