Question

在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．直線l過點A（-2，3），且被圓C₁截得的弦長為2

3

．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）試探究直線l上是否存在點P，使得P到圓C₁的切線PM，到圓C₂的切線PN，滿足|PM|=|PN|．若點P存在，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由直線l過點A（-2，3）．故：
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為：y=k（x+2）+3，求出圓心C₁（-3，1）到直線l的距離d，結合勾股定理可得：

|-k+2|

1+k2

=1，解出k值可得滿足條件的直線方程；
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：x=-2，求出直線與圓的交點坐標，判斷是否滿足題意，
最后綜合討論結果，得到直線l的方程；
（Ⅱ）設P（x，y）是滿足題中要求的點．由|PM|=|PN|結合兩點之間距離公式可得：x，y滿足2x+y-3=0．
即滿足題中要求的點P就是直線2x+y-3=0與直線l的交點，結合（I）中所求直線方程，可得滿足條件的點P的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l過點A（-2，3），
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為：y=k（x+2）+3，
∵圓心C₁（-3，1）到直線l的距離d=

R2-( 2 3 2 )2

=

4-3

=1，
∴

|-k+2|

1+k2

=1，
∴k=

3

4

，
∴直線l的方程為3x-4y+18=0．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：x=-2，
將x=-2代入圓C₁的方程得（y-1）²=3，
∴y=1±

3

，直線l與C₁的交點為(-2，1-

3

)和(-2，1+

3

)，
這時，直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

．
綜上，直線l的方程為x=-2或3x-4y+18=0．
（Ⅱ）設P（x，y）是滿足題中要求的點．
∵|PM|=|PN|，
∴

|PC1|2- R 2 1

=

|PC2|2- R 2 2

，
∴|PC1|2-4=|PC2|2-1，
∴（x+3）²+（y-1）²-4=（x-3）²+（y-4）²-1，
∴2x+y-3=0．
∴滿足題中要求的點P就是直線2x+y-3=0與直線l的交點．
∴由

x=-2 2x+y-3=0

，
解得

x=-2 y=7

，
由

3x-4y+18=0 2x+y-3=0

，
解得

x=- 6 11 y= 45 11

，
綜上，當P（-2，7）或P(-

6

11

，

45

11

)時滿足題設要求．

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，直線的點斜式方程，直線的交點，兩點之間的距離公式，是解析幾何部分的綜合應用，綜合性強，計算量大，轉化困難，屬于難題．