在平面直角坐標(biāo)系中,有橢圓(其中θ為參數(shù))和拋物線(其中t為參數(shù)).

(1)是否存在這樣的m值,使得該橢圓與該拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)m取何值時(shí),該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離?

思路分析:本題所給的兩條曲線都是其參數(shù)方程的形式,如果該題直接根據(jù)其參數(shù)方程來(lái)進(jìn)行計(jì)算也許比較麻煩,所以本題可考慮將參數(shù)消去,轉(zhuǎn)化為普通方程來(lái)求解,從而達(dá)到目的.與此同時(shí),本題也是對(duì)于學(xué)生的函數(shù)方面的知識(shí)的一個(gè)考查.

解:(1)將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組

消去y得x2+(8-2m)x+m2-16=0,令f(x)=x2+(8-2m)x+m2-16.

由拋物線方程知x≥,則橢圓與拋物線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程f(x)=0在[,+∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根,即

顯然此不等式組無(wú)解,故滿(mǎn)足題設(shè)條件的m值不存在.

(2)由Δ≥0得m≤4,又知橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,拋物線的頂點(diǎn)為(,0),故當(dāng)-2≤m-≤2,-≤m≤時(shí),橢圓與拋物線必相交.

若滿(mǎn)足題設(shè)條件,可有以下兩種情況:①橢圓中心與原點(diǎn)重合,此時(shí)m=0;②橢圓與拋物線的交點(diǎn)在橢圓中心與原點(diǎn)所連線段的垂直平分線上,即交點(diǎn)在直線x=上,將x=代入x2+(8-2m)x+m2-16=0,得m2+16m-64=0,解得m=-8±(舍去負(fù)值).

綜上所述,滿(mǎn)足題設(shè)條件的m值應(yīng)為m=0或-8+.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱(chēng)點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.

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