Question

16．已知a∈R，解關(guān)于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論a的范圍解對(duì)應(yīng)不等式解集的情況，從而寫出不等式的解集．

解答 解：當(dāng)a≠1時(shí)，關(guān)于x的方程（a-1）x²+（2a+3）x+a+2=0，
△=（2a+3）²-4（a-1）（a+2）=8a+17，
當(dāng)a＞-$\frac{17}{8}$時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁=$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$，x₂=$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$
當(dāng)a=-$\frac{17}{8}$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x=-$\frac{1}{5}$；
當(dāng)a＜-$\frac{17}{8}$時(shí)，方程沒有實(shí)根；
∴關(guān)于x的不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解如下：
當(dāng)a＜-$\frac{17}{8}$時(shí)，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為R；
當(dāng)a=-$\frac{17}{8}$時(shí)，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為{x|x≠-$\frac{1}{5}$}；
當(dāng)1＞a＞-$\frac{17}{8}$時(shí)，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為
{x|x＞$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$或x＜$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$}；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為{x|x＜-$\frac{3}{5}$}；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式（a-1）x²+（2a+3）x+a+2＜0的解集為
{x|$\frac{-（2a+3）-\sqrt{3a+17}}{2（a-1）}$＜x＜$\frac{-（2a+3）+\sqrt{8a+17}}{2（a-1）}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．