Question

對任意的實數(shù)x＞0，總有a-2x-|lnx|≤0，則實數(shù)a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：先把a從不等式中分離出來，寫在不等式的左邊，把右邊的式子設(shè)為函數(shù)，寫成分段函數(shù)，在各段分別求導，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，得出a的范圍．

解答：解：對任意的實數(shù)x＞0，總有a≤2x+|lnx|，
（1）當0＜x＜1時，a≤2x-lnx，（2x-lnx）′=2-

1

x

=

2x-1

x

，
令（2x-lnx）′＞0，得

1

2

＜x＜1，令（2x-lnx）′＜0得0＜x＜

1

2

；
（2）當x≥1時，a≤2x+lnx，（2x+lnx）′=2+

1

x

=

2x+1

x

，
當x≥1時，（2x+lnx）′＞0恒成立；
由（1）（2）知：x=

1

2

時，2x+|lnx|的最小值為1-ln

1

2

=1+ln2．
則實數(shù)a的范圍為（-∞，1+ln2]．
故答案為（-∞，1+ln2]．

點評：本題考查導數(shù)在最小值問題中的應用，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，若f（a）=0：a的左側(cè)f'（x）＜0，a的右側(cè)f'（x）＞0，則a是極小值點；掌握不等式恒成立時所取的條件．