Question

已知雙曲線 2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為動(dòng)點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M（-2，0），過(guò)點(diǎn)N（-

2

7

，0）作直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，判斷∠AMB的大小是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，知點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知在△F₁PF₂中cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

12-2mn

2mn

=

6

mn

-1，m＞0，n＞0，4=m+n≥2

mn

，故mn≤4，由此知∠F₁PF₂的最小值為

1

2

．
（Ⅲ）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x=-

2

7

，代入

x2

4

+

y2

3

=1解得A．B的坐標(biāo)分別為(-

2

7

，

12

7

)，(-

2

7

，-

12

7

)，而|MN|=

12

7

，故∠AMB=90°，猜測(cè)∠AMB=90°為定值，再由韋達(dá)定理進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）依題意雙曲線方程可化為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，則|F₁F₂|=2，∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2
可知點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b²=4-1=3則所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；（3分）
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，則由m+n=4，|F₁F₂|=2可知
在△F₁PF₂中cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

12-2mn

2mn

=

6

mn

-1
又∵m＞0，n＞0，4=m+n≥2

mn

∴mn≤4，即

1

mn

≥

1

4

∴cosθ≥

6

4

-1=

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)等號(hào)成立．故cos∠F₁PF₂的最小值為

1

2

（6分）
（Ⅲ）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x=-

2

7

，代入

x2

4

+

y2

3

=1解得A．B的坐標(biāo)分別為(-

2

7

，

12

7

)，(-

2

7

，-

12

7

)，而|MN|=

12

7

，∴∠AMB=90°，
猜測(cè)∠AMB=90°為定值．（8分）
證明：設(shè)直線l的方程為my=x+

2

7

，由

x=my- 2 7 3x2+4y2=12

，
得(3m2+4)y2-

12

7

my-

576

49

=0
∴y1+y2=

12m

7(3m2+4)

，y1y2=-

576

49(3m2+4)

（10分）
∴

MA

•

MB

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(my1+

12

7

)(my1+

12

7

)+y1y2=(m2+1)y1y2+

12

7

(y1+y2)+

144

49

=(m2+1)

-576

49(3m2+4)

+

12

7

m•

12m

7(3m2+4)

+

144

49

=

-144(4+3m2)

49(3m2+4)

+

144

49

=0
∴∠AMB=90°為定值．（AB與點(diǎn)M不重合）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．