Question

10．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間≤0恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出

解答 解（Ⅰ）：∵f（x）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)是減函數(shù)，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在（0，$\frac{2}{3}$）上恒成立． 
 即a≥$\frac{3}{2}$x在（0，$\frac{2}{3}$）上恒成立，
∵$\frac{3x}{2}$＜$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1，
∴a≥1．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞），
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=3x²-4x，
當(dāng)1≤x＜$\frac{4}{3}$時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)$\frac{4}{3}$≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{32}{27}$

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題；不等式恒成立問題；導(dǎo)數(shù)求最值問題，屬于中檔題