Question

已知函數f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，
（1）當a=0時，求f（x）的最小值；
（2）當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）a=0時，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），由此利用導數性質能求出f（x）有最小值-

1

2e

．
（2）由已知x≥1時，f（x）_min＞0，f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），…（2分）
x∈（0，e-

1

2

）時，f（x）單調減，x∈（e -

1

2

，+∞）時，f（x）單調增，…（4分）
所以當x=e-

1

2

時，f（x）有最小值-

1

2e

．…（5分）
（2）由已知，即x≥1時，f（x）_min＞0，…（6分）
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，…（8分）
當1-2a≥0，即a≤

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）單調增
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤

1

2

時滿足f（x）≥0恒成立．…（10分）
當1-2a＜0，即a＞

1

2

時，由f′（x）=0，得x=ea-

1

2

＞1，
∴x∈(1，ea-

1

2

)時，f（x）單調減，即x∈（1，e a-

1

2

）時，
∴f（x）＜f（1）=0與題設矛盾，
即a＞

1

2

時，不能滿足f（x）≥0恒成立．…（12分）
綜上，所求a的取值范圍是a≤

1

2

．…（13分）

點評：本題考查函數的最小值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數的性質的合理運用．