Question

已知平面向量a=(,-1),b=(,).

(1)求證:a⊥b;

(2)若存在不同時為零的實數k和t,使向量x=a+(t²-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,試求函數關系式k=f(t);

(3)根據(2)的結論,討論關于t的方程f(t)-k=0的解的情況.

Answer 1

(1)證明:∵a·b=(,-1)·(,)=×+(-1)×=-=0,∴a⊥b.

(2)解法一:∵x⊥y,∴x·y=0,

即［a+(t²-3)·b］·(-ka+tb)=0,

整理后得-ka²+［t-k(t²-3)］a·b+t(t²-3)·b²=0.

∵a·b=0,a²=()²+(-1)²=4,b²=()²+()²=1,

∴上式化為-4k+t(t²-3)=0.

∴k=t(t²-3).

解法二:x=a+(t²-3)b=(,-1)+(t²-3)·(,)

=(+)

=(),y=-ka+tb

=-k(,-1)+t(,)

=(-k+,k+t)

=().

∵x⊥y,∴x·y=0.

∴=(t²+2-3)·(t-2k)+(t²-2-3)·(2k+t)=0.

∴t(t²+2-3)-2k·(t²+2-3)+2k(t²-2-3)+t(t²-2-3)=0.

∴k(2t²-4-6-2t²-12+6)+t³+2t-3t+3t³-2t-9t=0.

∴-16k=-4t³+12t.

∴k=t(t²-3).

∴k=f(t)=t(t²-3).

(3)解:討論方程t(t²-3)-k=0的解的情況,其實就是利用曲線f(t)= t(t²-3)的形狀及有關性質(極值問題,單調性問題等)與曲線y=k(常量函數)的交點個數問題.

利用導數知識可以求出f′(t)=·(3t²-3)=(t²-1)=(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t₁=-1,t₂=1.當t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:

T	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f′(t)	+	0	-	0	+
f(t)	?	極大值	?	極小值	?

當t=-1時,f(t)有極大值,f(t)_極大值=;

當t=1時,f(t)有極小值,f(t)_極小值=-.

而f(t)=t(t²-3)=0時,得t(t²-3)=0,

∴t=0,t=±.

而t=±1是函數f(t)的兩個拐點,f(t)是奇函數,所以f(t)的圖象大致如下圖所示:

于是當k＞或k＜-時,直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點,則方程有一解;

當k=或k=-時,直線與曲線有兩個交點,則方程有兩個解;

當k=0時,直線y=k與曲線y=f(t)有三個交點,但已知條件k與t不能同時為0,所以此時也只有兩解;

當-＜k＜0或0＜k＜時,直線y=k與曲線y=f(t)有三個交點,則方程有三個解.

綜上所述,當k＞或k＜-時,方程f(t)-k=0有一解;當k=±時,方程f(t)-k=0有兩解;當k=0時,方程f(t)-k=0有兩解;當-＜k＜0或0＜k＜時,方程f(t)-k=0有三解.