Question

如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，則直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：如圖所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D′，BD．利用等邊三角形的性質(zhì)及AA′⊥底面ABC，可得C′D⊥側(cè)面ABB′A′，
于是∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成角．利用勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：如圖所示，
取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D′，BD．
∵底面△A′B′C′是正三角形，
∴C′D⊥A′B′．
∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．
又AA′∩A′B′=A′，
∴C′D⊥側(cè)面ABB′A′，
∴∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成角．
∵等邊△A′B′C′的邊長(zhǎng)為1，C′D=

3

2

．
在Rt△BB′C′中，BC′=

B′B2+B′C′2

=

5

．
∴直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值=

C′D

BC′

=

15

10

．
故答案為：

15

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、線面角、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．