Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．

(1)求證平面BDE⊥平面ABCD．

(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

(3)求二面角A－EB－D的平面角大�。�

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：(1)設(shè)O是AC，BD的交點(diǎn)，連結(jié)EO．

　　∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中點(diǎn)，

　　∵E是PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

　　∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．

　　(2)EO∥PC，PC平面PBC，

　　∴EO∥平面PBC，于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離．

　　作OF⊥BC于F，

　　∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的長等于O到平面PBC的距離．

　　由條件可知，OB＝，OF＝×＝a，則點(diǎn)E到平面PBC的距離為a．

　　(3)過O作OG⊥EB于G，連接AG　∵OE⊥AC，BD⊥AC　∴AC⊥平面BDE

　　∴AG⊥EB(三垂線定理)　∴∠AGO是二面角A－EB－D的平面角

　　∵OE＝PC＝a，OB＝a　∴EB＝a．∴OG＝＝a　又AO＝a．

　　∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan．

提示：

本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應(yīng)用．