Question

已知，直線

（1）函數(shù)在處的切線與直線平行，求實數(shù)的值

（2）若至少存在一個使成立，求實數(shù)的取值范圍

（3）設(shè)，當(dāng)時的圖像恒在直線的上方，求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）5

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值,求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得，（4）分類討論是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點，要找好臨界條件進行討論.

試題解析：【解析】
（1），由于在處的切線與直線平行

，解得

（2）由于至少存在一個使成立，

成立至少存在一個

整理得成立至少存在一個，令，當(dāng)時，

恒成立，因此在單調(diào)遞增，當(dāng)時，

，滿足題意的實數(shù)

（3）由題意在時恒成立

即

，令，則在時恒成立

所以在上單調(diào)遞增，且

所以在上存在唯一實數(shù)使

當(dāng)時即，

當(dāng)時即，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

故又，所以的最大值為5.

考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；3、恒成立的問題.