Question

已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25 000+200x+x²(元).

(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

Answer 1

點撥：本題已經(jīng)直接給出了函數(shù)關(guān)系式，可用導(dǎo)數(shù)求最值的方法直接求解.

解析:(1)設(shè)平均成本為y元，則

令y′=0，得x₁=1 000,x₂=-1 000(舍去).

當(dāng)在x=1 000附近左側(cè)時，y′＜0;

在x=1 000附近右側(cè)時，y′＞0;

故當(dāng)x=1 000時，y取得極小值.

由于函數(shù)只有一個點使y′=0，且函數(shù)在該點有極小值，那么函數(shù)在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品.

(2)利潤函數(shù)為L=500x-(25 000+200x+)

=300x-25 000-.

∴L′=(300x-25 000-)′=300-.

令L′=0，得x=6 000，當(dāng)x在6 000附近左側(cè)時，L′＞0;

當(dāng)x在6 000附近右側(cè)時L′＜0，故當(dāng)x=6 000時，L取得極大值.

由于函數(shù)只有一個使L′=0的點，且函數(shù)在該點有極大值，那么函數(shù)在該點取得最大值.因此，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6 000件產(chǎn)品.