Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=

3

a．
（1）求y=（2-sinA）²+cos²B的取值范圍；
（2）當c=1，且△ABC的面積為

3

4

時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據b=

3

a，利用正弦定理得sinB=

3

sinA，從而得到函數y=（2-sinA）²+cos²B=-2（sinA+1）²+7，由此結合A、B為三角形的內角算出0＜sinA≤

3

3

，由二次函數在閉區(qū)間上的最值求法，可得所求取值范圍．
（2）由正弦定理的面積公式，代入數據算出sinC=

1

2a2

．再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子化簡求出cosC=

4a2-1

2 3 a2

，利用同角三角函數的平方關系建立關于a的方程，解之即可求出邊a的長．

解答：解：（1）由b=

3

a，得sinB=

3

sinA，
由A、B為三角形的內角，得

0＜sinA≤1 0＜ 3 sinA≤1

∴0＜sinA≤

3

3

∴y=(2-sinA)2+cos2B=(2-sinA)2+1-(

3

sinA)2=-2sin2A-4sinA+5=-2(sinA+1)2+7y=(2-sinA)2+cos2B=(2-sinA)2+1-(

3

sinA)2
=-2sin²A-4sinA+5=-2（sinA+1）²+7
∵0＜sinA≤

3

3

，
∴當sinA=0時，y有最大值為5；當sinA=

3

3

時，y有最小值為

13

3

-

4 3

3

因此，函數y=（2-sinA）²+cos²B的取值范圍是[

13

3

-

4 3

3

，5)；
（2）由三角形面積公式，得

1

2

absinC=

3

4

，可得sinC=

3 2

ab

=

3 2

3 a2

=

1

2a2

根據余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=1，
即4a²-2

3

a²cosC=1，得cosC=

4a2-1

2 3 a2

∵sin²c+cos²c=1，
∴（

1

2a2

）²+（

4a2-1

2 3 a2

）²=1，解之得a=1．

點評：本題給出三角形的邊滿足的條件，求關于sinA、cosB的函數的值域，并在已知三角形面積的情況下解邊a的值．著重考查了正余弦定理解三角形、同角三角函數的基本關系和二次函數在閉區(qū)間上的最值等知識，屬于中檔題．