Question

19．已知直線l₁：y=2x，直線l：y=3x+3．求l₁關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的直線l₂的方程．

Answer 1

分析 方法一：聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出O（0，0）關(guān)于直線y=3x+3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），求出l₂的方程即可；
方法二：設(shè)出點(diǎn)P關(guān)于直線l：y=3x+3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），由P₁P⊥l，且PP₁的中點(diǎn)在l上，解出x₁，y₁，根據(jù)y₁=2x₁，代入整理即可．

解答 解：方法一：由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=3x+3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)₁與l的交點(diǎn)為P（-3，-6），且此點(diǎn)在所求直線l₂上．
在直線y=2x上取點(diǎn)O（0，0），它關(guān)于直線y=3x+3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），
由兩點(diǎn)式可得l₂的方程為11x-2y+21=0．
方法二：設(shè)P（x，y）是直線l₂上任一點(diǎn)，
點(diǎn)P關(guān)于直線l：y=3x+3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），
由P₁P⊥l，且PP₁的中點(diǎn)在l上得：
$\frac{y{-y}_{1}}{x{-x}_{1}}$=-$\frac{1}{3}$，$\frac{y{+y}_{1}}{2}$=3$•\frac{x{+x}_{1}}{2}$+3，
解得x₁=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{3}{5}$y-$\frac{9}{5}$，
y₁=$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y+$\frac{3}{5}$．
∵P₁（x₁，y₁）在直線l₁上，即y₁=2x₁，
∴$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y+$\frac{3}{5}$=2（-$\frac{4}{5}$x+$\frac{3}{5}$y-$\frac{9}{5}$），
整理得11x-2y+21=0．
∴l(xiāng)₂的方程為11x-2y+21=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，考查直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，是一道中檔題．