Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）令，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)一切正整數(shù)n，總有b_n≤m？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．
（2）令的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜3，n∈N₊．

Answer 1

【答案】分析：（1）將n=1代入已知的遞推式中得到a₂-a₁=2，由遞推式得到a_n+1-a_n=2（n≥2）
從而得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)，即可得到{b_n}的通項(xiàng)．再判斷其單調(diào)性，
即可判斷b₄=b₅的值最大，利用恒成立條件即可得到m的范圍．
（2）先用n表示T_n，再用放縮法，疊加法即可證明．
解答：解：（1）令n=1，1•a₂=a₁+1•2，即a₂-a₁=2
由
⇒n•a_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n⇒n≥2）
即數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，∴a_n=2n
∴
∴4，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄=b₅＞b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
∴，∴，∴m的最小值為4．
（2）∵
∴

＜1+=1+
=1+=1+（1+
∴T_n＜3
點(diǎn)評(píng)：此題考查等差數(shù)列的證明方法，及不等式的放縮法、求和常用的疊加法．