已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，點P到點F的距離等于點P到直線l的距離．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，求|AB|．
分析：（1）用拋物線的定義，求出動點的軌跡方程．
（2）設圓M的圓心坐標，利用半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，以及圓心在軌跡C上，
求出弦長．
解答：解：（1）由題意知，點P的軌跡是頂點在原點，開口向上的拋物線，設其方程為x2=2py，
由
p
2
=1，解出p=2．即x2=4y，所以動點P的軌跡C的方程x2=4y．
（2）設圓M的圓心坐標為M（a，b），取AB的中點H．連接MH，BM．則a2=4b．
圓M的半徑為|MD|=
a2+(b-2)2
，|MH|=b．
|AB|=2|BH|=2
|MB|2-|MH|2
=2
a2+(b-2)2-b2

=2
a2-4b+4
=2
4b-4b+4
=4．  即|AB|=4．
點評：本題考查用定義法求動點的軌跡方程，直線和圓的位置關系，弦長公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設|DA|=l1，|DB|=l2，求
l1
l2
+
l2
l1
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x2+（y-3）2=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•石家莊二模）在平面直角坐標系中，已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面內動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QF
•(
QP
+
FP
)=0．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點M（0，m）（m＞0）的直線AB與曲線E交于A、B兩個不同點，設∠AFB=θ，若對于所有這樣的直線AB，都有θ∈（
π
2
，π]．求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為
d
=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數(shù)a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y0），求y0的取值范圍．

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