已知橢圓C：
+=1 (a＞b＞0)，其左、右兩焦點分別為F
1、F
2．直線L經(jīng)過橢圓C的右焦點F
2，且與橢圓交于A、B兩點．若A、B、F
1構(gòu)成周長為4
的△ABF
1，橢圓上的點離焦點F
2最遠(yuǎn)距離為
+1，且弦AB的長為
，求橢圓和直線L的方程．
分析：由題意知，a，b，c滿足
，解方程即可得到橢圓的方程，再由弦AB的長為
，得到
=，聯(lián)立直線與橢圓方程得到
代入上式，即可得到k，繼而求出直線L的方程．
解答：解：依題意，設(shè)該橢圓的焦距為2c，
則
，
解得a=
，b=c=1，
所以橢圓方程為
+y2=1，
由題意可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立直線與橢圓方程得到
，
整理得（1+2k
2）x
2-4k
2x+2k
2-2=0，
若A，B兩點的橫坐標(biāo)為x
1，x
2，
則
（*），
△=16k
4-8（k
2-1）（1+2k
2）＞0，
又由弦AB的長為
，
則
=將（*）式代入得k
2=1，即k=±1
所以所求橢圓方程為
+y2=1，直線方程為y=x-1或y=-x+1．
點評：本題考橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知橢圓C：
+=1(a＞b＞0)的離心率為
，且經(jīng)過點
P(1，)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知橢圓C：
+=1（a＞b＞0）的短軸長為2
，右焦點F與拋物線y
2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
=λ，若λ∈[
，]，求直線AB的斜率的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
），且離心率e=
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
+=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知橢圓C：
+=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記
λ=，若直線l的斜率k≥
，則λ的取值范圍為
．
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