4.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M(0,2)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)在橢圓C上,且△MF1F2為正三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P(4,0)的直線PB交橢圓C于另一點(diǎn)E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

分析 (1)由題意畫出圖形,求出M點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn),則a可求,再由△MF1F2為正三角形列式求得c,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求,
(2)設(shè)直線PB的方程可設(shè)為x=ky+4,聯(lián)立方程組,設(shè)B(x1,y1),E(x2,y2),則A(x1,-y1),根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y2=-$\frac{16k}{2{k}^{2}+3}$,y1•y2=$\frac{24}{2{k}^{2}+3}$,由此能夠證明直線AE恒過定點(diǎn)(1,0).

解答 解:(1)如圖,點(diǎn)M(0,2)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為(-2,0),
∵(-2,0)在橢圓上,∴a=2,
又△MF1F2為正三角形,
∴tan30°=$\frac{c}{2}$,c=2tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴b2=a2-c2=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$,
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1;
(2)∵P(4,0),
∴直線PB的方程可設(shè)為x=ky+4,
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+4}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=8}\end{array}\right.$,
得(2k2+3)y2+16ky+24=0,
∵△>0,
∴k2>$\frac{9}{2}$.
設(shè)B(x1,y1),E(x2,y2),則A(x1,-y1),
∴y1+y2=-$\frac{16k}{2{k}^{2}+3}$,y1•y2=$\frac{24}{2{k}^{2}+3}$
直線AE:y+y1=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$(x-x1),
∵x1y2+x2y1=2ky1y2+4(y1+y2)=$\frac{48k}{2{k}^{2}+3}$-$\frac{64k}{2{k}^{2}+3}$=-$\frac{16k}{2{k}^{2}+3}$=y1+y2,
∴直線AE:y+y1=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$(x-x1),即為y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$(x-1)恒過定點(diǎn)(1,0).
∴AE恒過定點(diǎn)(1,0).

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

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8.設(shè){an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1a2a3=64,b1+b2+b3=-42,6a1+b1=2a3+b3=0.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)pn=$\left\{\begin{array}{l}{a_n},n=2k-1,k∈{N^*}\\{b_n},n=2k,k∈{N^*}\end{array}$,數(shù)列{pn}的前n項(xiàng)和為Sn
①試求最小的正整數(shù)n0,使得當(dāng)n≥n0時,都有S2n>0成立;
②是否存在正整數(shù)m,n(m<n),使得Sm=Sn成立?若存在,請求出所有滿足條件的m,n;若不存在,請說明理由.

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9.n∈N*,則(21-n)(22-n)…(100-n)等于( 。
A.${A}_{100-n}^{80}$B.${A}_{100-n}^{21-n}$C.${A}_{100-n}^{79}$D.${A}_{100}^{21-n}$

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6.設(shè)全集為R,A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9}
(1)若x=-3,求∁R(A∩B);
(2)若{9}⊆A∩B,求A∪B.

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13.已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),g(x)=x3-3a2x,(a>0)
(1)求f(x)的最大值;
(2)若對?x1∈(0,+∞),總存在x2∈[1,2]使得f(x1)≤g(x2)成立,求a的取值范圍.

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9.如圖,PD⊥平面ABCD,DC⊥AD,BC∥AD,PD:DC:BC=1:1:$\sqrt{2}$.
(1)若AD=DC,求異面直線PA,BC所成的角;
(2)求PB與平面PDC所成角大。
(3)求二面角D-PB-C的正切值.

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16.如圖,直角坐標(biāo)系x′Oy所在的平面為β,直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為α,且二面角α-y軸-β的大小等于30°.已知β內(nèi)的曲線C′的方程是3(x-2$\sqrt{3}$)2+4y2-36=0,則曲線C′在α內(nèi)的射影在坐標(biāo)系xOy下的曲線方程是(x-3)2+y2=9.

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13.已知點(diǎn)B(2,0),P是函數(shù)y=2x圖象上不同于A(0,1)的一點(diǎn),有如下結(jié)論:
①存在點(diǎn)P使得△ABP是等腰三角形;
②存在點(diǎn)P使得△ABP是銳角三角形;
③存在點(diǎn)P使得△ABP是直角三角形.
其中,正確結(jié)論的序號為( 。
A.①②B.②③C.①③D.①②③

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14.已知函數(shù)f(x)=x2+2x(x>0),f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,則f5(x)在[1,2]上的最大值是(  )
A.210-1B.212-1C.310-1D.332-1

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