Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=x•f（x）有幾個(gè)極值點(diǎn)？
（Ⅱ）若f（x）≤0對(duì)于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得答案；
（Ⅱ）若f（x）≤0對(duì)于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，則存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-2lnx，
設(shè)F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，
則F'（x）=2x-2lnx-2=2[（x-1）-lnx]（x＞0）．
令h（x）=x-1-lnx，則$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)x=1時(shí)h（x）_min=h（1）=0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)F'（x）≥0恒成立，
所以函數(shù)y=x•f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）≤0，即ax-2lnx≤0．
問(wèn)題等價(jià)于存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．
令$g（x）=\frac{2lnx}{x}$，則$g'（x）=\frac{2（1-lnx）}{x^2}$．
因?yàn)?x∈（\frac{1}{e}，e）$，所以-1＜lnx＜1，
所以g'（x）＞0在$（\frac{1}{e}，e）$上恒成立，
所以g（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上單調(diào)遞增，
所以$g（\frac{1}{e}）＜g（x）＜g（e）$，
即$-2e＜g（x）＜\frac{2}{e}$，
所以$a＜\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．