Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）如果對所有的x≥0，都有f（x）≥ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）x=0時，f（x）=ax恒成立；x＞0時，問題等價于a≤h（x）_min，x＞0，h′（x）=

x-ln(x+1)

x2

，x＞0，記g（x）=x-ln（x+1），x≥0，g′（x）=

x

1+x

＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=（x+1）ln（x+1），
∴x＞-1，f′（x）=ln（x+1）+1，
由f′（x）=0，得x=

1

e

-1，
當(dāng)x∈（-1，

1

e

-1）時，f′（x）＜0；x∈（

1

e

-1，+∞），f′（x）＞0．
∴f（x）_極小值=f（

1

e

-1）=-

1

e

，
∴f（x）的最小值為-

1

e

．
（Ⅱ）解：x≥0時，f（x）≥ax恒成立
當(dāng)x=0上式取等號顯然恒成立
當(dāng)x＞0，問題等價于a≤h（x）_min，x＞0，
其中h（x）=

f(x)

x

=

(x+1)ln(x+1)

x

，
h′（x）=

x-ln(x+1)

x2

，x＞0，
記g（x）=x-ln（x+1），x≥0
g′（x）=

x

1+x

＞0，x＞0，知g（x）在x＞0上單調(diào)遞增，
又g（x）在x=0處連續(xù)，則g（x）＞g（0）=0，x＞0，
于是有h'（x）＞0，x＞0，知h（x）在x＞0上單調(diào)遞增
∴h（x）_min=

lim

x→0

h（x）
=

lim

x→0

(x+1)ln(x+1)

x

=

lim

x→0

x(x+1)

x

=

lim

x→0

（x+1）
=1，
∴由a≤h（x）_min，得到a的取值范圍a∈（-∞，1]．

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．